Questões Militares Sobre geometria plana em matemática

Após o início do passeio, a primeira parada localiza-se no Parque Farroupilha, mais conhecido como Redenção. Passeando por este parque você observa várias regiões cobertas por água, como, por exemplo, o lago dos pedalinhos e o chafariz. Buscando por informações a respeito da Redenção, você encontra a malha quadriculada abaixo que ilustra um esboço do parque.

De acordo com o esboço acima, são feitas as seguintes afirmações:

I. A área do parque coberta por água corresponde a 1/9 da área total do parque.

II. A área do parque coberta por água e maior do que 1/6 da área do parque sem água.

III. A área do parque sem água e maior do que 5/6 da área total do parque.

Quais das afirmações estão corretas?

O tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa. Seu surgimento é rodeado por lendas. Uma delas diz que o tangram foi criado casualmente, quando um filósofo chinês derrubou um ladrilho quadrado, que se partiu em 7 peças. Na tentativa de juntar as peças do ladrilho, o filósofo verificou que, sem sobrar e sem faltar nenhuma peça, era possível a construção de diversas formas, além do quadrado original. Desde então, o tangram vem servindo de excelente e divertido passatempo, além de estimular o raciocínio. Temos abaixo a demonstração do tangram montado em sua forma original de ladrilho quadrado numa malha quadriculada. Observando as 7 peças numeradas do tangram, analise as quatro afirmativas abaixo:
1ª. A peça VI corresponde a 50% da peça II. 2ª. Considerando-se como unidade de área a peça I, a área do tangram será de 2 unidades. 3ª. As peças IV e VII têm mesma área. 4ª. Considerando-se como unidade de área a peça III, a área do tangram será de 16 unidades.
É correto o que se afirma

As figuras abaixo foram desenhadas em malhas quadriculadas de mesmas dimensões. O paralelogramo da figura 1 tem 135 cm2 de área. Com base nessa informação, qual a área do retângulo da figura 2?
 

Valdir comprou um terreno em formato retangular e esse terreno ainda não estava cercado. Para cercar todos os lados do terreno, ele queria usar arame farpado em uma parte e muro de tijolos na outra parte, deixando uma abertura de 200 cm no muro de tijolos para a colocação de um portão de ferro, como mostra a figura abaixo. Sabe-se que a soma de todos os lados do terreno mede 78 metros (m) e que a medida do menor lado mede 15 metros (m). Como tinha disponível apenas R$ 800,00, Valdir fez várias pesquisas em lojas de materiais de construção e encontrou o menor preço: R$ 7,00 o metro (m) de arame farpado e R$ 20,00 o metro (m) construído de muro de tijolos. Com base no menor preço, Valdir fez todos os cálculos de quanto iria gastar para colocar o arame farpado e o muro de tijolos, e constatou que

Na figura abaixo, estão representadas as principais instalações do Parque Olímpico. Os pontos L, P, E são vértices de um triângulo e representam, respectivamente, os portões de entrada do “Live Site”, da Pista de Atletismo e do Estádio de Esportes Aquáticos. Os pontos V e Q pertencem aos lados desse triângulo.

Os segmentos  são perpendiculares, LE= 500m, VE= 340m e VQ= 120m. Tendo em vista que o segmento  é perpendicular ao segmento  , então a menor distância entre o portão de entrada do Estádio de Esportes Aquáticos e o portão de entrada da Pista de Atletismo, é igual a

Na figura abaixo, considere a representação plana do quadrilátero convexo BDMC cujos vértices indicam, respectivamente, as localizações das centrais de organização do Comitê Olímpico nas regiões da Barra, de Deodoro, do Maracanã e de Copacabana. 


O comprimento da diagonal  , que representa a distância entre as centrais de organização que ficam em Copacabana e Deodoro, é igual a 39 km. Sabendo-se que a área do quadrilátero BDMC é igual a 273 km² e que as diagonais  e BM formam um ângulo agudo igual 30º, a distância entre as centrais de organização que ficam na Barra e no Maracanã é igual a

O vôlei de praia é o esporte que é a “cara” do Rio de Janeiro. Realizada numa Arena, na Praia de Copacabana, a competição oferecerá aos espectadores a visita a um dos principais cartões-postais da cidade. Suponha que Araci, para se proteger dos raios solares, tenha montado uma barraca na praia cuja cobertura, feita de lona, é constituída de dois triângulos equiláteros ABC e BCD, com o lado comum   Estando a barraca montada, como representado na figura abaixo, os vértices A e D ficam a 1m do chão, enquanto os vértices B e C ficam a 2m do chão.


Nessas condições, sabe-se que, quando os raios solares incidirem perpendicularmente ao plano do chão, a sombra da barraca projetada na areia será o quadrilátero EFGH, cuja área medirá 4√11 m². Dessa forma, o valor do segmento  é, em metros, igual a

Considere que a figura abaixo seja uma representação plana de parte da pista de corridas construída pelos chineses. Nela, a distância entre os lados paralelos de dois retângulos consecutivos é de 1metro (m) e o perímetro do retângulo EFGH é de 162 m. Se a soma dos cubos das medidas da largura e do comprimento do retângulo IJKL é de 155125 m³, então a área do retângulo ABCD, em m², é igual a

Em uma pista de corrida, o espaço entre duas faixas marcadas na pista que delimita a região onde cada competidor pode realizar uma prova é denominado de raia. A figura abaixo é uma representação plana de uma raia cuja largura é igual a 2 metros (região hachurada). 


Nessa figura, os quadriláteros ABCD e EFGH são retângulos, os pontos E, A, D e H são colineares, e os segmentos  são diâmetros de semicircunferências. Sabendo que as medidas dos segmentos  estão entre si, nessa ordem, como 1 está para 2 e a medida do segmento  é 50√5 metros, então a área da região que representa a raia é igual a 

Finalmente você encontrou o tesouro!

O baú que contém o tesouro é decorado por azulejos quadrados, pintados de branco e cinza. O quadrado ABCD ilustrado abaixo é a ampliação de um desses azulejos. Sabe-se que EBFG, KLMN e HGJI são todos quadrados de mesma área, que G é o centro do quadrado KLMN e que os segmentos de reta KO e ON têm a mesma medida.

Se o segmento de reta EB mede 1/3 do segmento de reta AB, a que fração da área do azulejo corresponde a área pintada de cinza?

Densidade demográfica é o quociente entre o número de habitantes de determinada região e a área dessa região. Ao chegar, você descobriu que a população da Ilha Perdida é de 4 860 habitantes e que a área dessa ilha pode ser estimada pela região cinza na malha quadriculada abaixo.

Sabendo que o lado de cada quadrado da malha equivale a 3 km, você concluiu que a densidade demográfica da Ilha Perdida é de

Para iniciar sua viagem até a Ilha Perdida é necessário planejá-la. A carta náutica abaixo descreve o trajeto que será percorrido pelo navio. O objetivo é partir do ponto N, deslocar-se até a ilha, localizada no ponto P, e retornar ao ponto N, conforme o caminho indicado na carta.

Se cada quadrado da carta náutica tem 10 000 m de lado, qual será a distância total percorrida pelo navio?

Em um triângulo retângulo temos as medidas d e h, onde d é igual à diferença entre os comprimentos dos catetos e h é igual à medida da altura relativa à hipotenusa.

A expressão que representa o comprimento da hipotenusa a, em função das medidas d e h, é 

A figura abaixo mostra uma folha de papel quadrada ABCD de lado 18 centímetros. Essa folha foi dobrada sobre o segmento EF de maneira que o ponto C coincidisse com o ponto G. Sabese, ainda, que a medida do segmento AG é de 12 centímetros.

Nestas condições, a medida do segmento AH é de

Um hexágono ABCDEF é obtido unindo-se os vértices dos quadrados construídos sobre os lados do triângulo retângulo sombreado, conforme mostra a figura abaixo.

Se os catetos desse triângulo retângulo possuem medidas a e b, a área do hexágono ABCDEF pode ser expressa como

“O prédio do CMPA, conhecido como Velho Casarão da Várzea, tem a maior parte da sua arquitetura em estilo neoclássico e faz parte do patrimônio histórico da cidade de Porto Alegre. Construído com a forma de um “quadrilátero térreo e cinco castelos de dois pis prédio aumentou seu tamanho com o passar do tempo. As esculturas existentes na fachada que representam Marte, Deus da Guerra, e Minerva, Deusa guerreira da Sabedoria, são as maiores estátuas de adorno de Porto Alegre, tendo sido inseridas na primeira ampliação do prédio. O torreão colocado sobre o Salão Nobre do CMPA simboliza a lanterna do saber com que os antigos Mestres conduziam seus discípulos pelas trevas da ignorância.”

Adaptado de: https://biblioteca.ibge.gov.br/index.php/biblioteca-catalogo?id=440956&view=detalhes;Acesso em 06/09/2018.

O torreão está adornado com oito vitrais idênticos que estão fixados em cada uma de suas paredes. Márcio fez um desenho representando um destes vitrais, resultando na figura ao lado. Nela, encontramos três círculos concêntricos e um pentágono regular estrelado inscrito no círculo maior. Se o raio do círculo maior for R, qual será o comprimento da altura do triângulo C P M, em relação à base P M ?

Considere três semicircunferências idênticas, de raio R, cujos centros A, B e C são colineares. Um círculo de raio r e centro D tangencia as três semicircunferências.

Qual é o valor da razão r/R ? 

“O Parque Histórico Marechal Manoel Luis Osório (PHMLO) proporcionou ao Colégio Militar de Porto Alegre (CMPA) a oportunidade de inaugurar um BOSQUE ASTRONÔMICO dentro de suas instalações. Foram plantadas 100 árvores, todas nativas da flora gaúcha e brasileira: ipês de várias cores, erva-mate, cabriúva e outras, que foram plantadas pelos alunos e profissionais do CMPA.”

Adaptado de:

www.lw135349918050acc497.hospedagemdesites.ws/site/index.php?option=co m_content&task=view&id=370&Itemid=2

Acesso em 18/09/2018.

A iniciativa deste projeto partiu do Clube de Astronomia do CMPA. O termo “Bosque Astronômico” foi utilizado porque as árvores, vistas de cima, representam estrelas de diferentes constelações. Essas 100 árvores foram dispostas segundo um sistema de referência cartesiano. O intervalo entre as árvores, horizontal e vertical, é de 4 metros, conforme mostra a figura abaixo. Cada árvore pode ser identificada pelas suas coordenadas cartesianas, com O(0,0) e G(3,2), por exemplo. 

Nessa figura, as árvores identificadas por A(-4,0), B(-1,-1) e C(-3,-3) representam as estrelas da constelação conhecida como Triângulo Austral. A área delimitada pelo triângulo ABC é de  

Três discos, um pequeno A com 16 dentes, outro médio B com 24 dentes e um maior C com 36 dentes formam uma engrenagem. Cada disco contém uma seta apontando para a mesma direção (conforme figura abaixo) antes do disco A começar a girar em sentido anti-horário. Assim, as setas voltarão a posição original, pela primeira vez, após:

 Durante a construção do mais novo Colégio do SCMB, o de Belém, uma área foi reservada para a construção de um jardim. Essa área é retangular e, para conservação do jardim, é importante a construção de uma cerca a sua volta. O diretor de ensino pediu que alguns projetos fossem apresentados de maneira que o contorno do jardim pudesse ser alterado, desde que permanecesse dentro dos limites da área reservada e que usassem o mesmo modelo de cerca em todos os projetos. Observe os quatro projetos apresentados:

Com base nas informações acima, analise as quatro afirmativas abaixo:
1ª) O projetos 01 e 02 têm o mesmo comprimento de cerca. 2ª) O projeto 04 tem o maior comprimento de cerca. 3ª) O projeto 02 tem o maior comprimento de cerca. 4ª) O projetos 03 e 04 têm o mesmo comprimento de cerca.
É correto o que se afirma