Questões de Concurso Sobre álgebra linear - equações lineares, espaço vetorial e transformações lineares e matrizes em matemática

Uma aplicação para transformações lineares é a criptografia. Ao enumerar cada letra do alfabeto de 1 a 26:

E em seguida separam-se as letras das palavras dadas dois a dois, por exemplo: LI-NE-AR, formando três blocos que após substituição pela correspondência numérica serão as matrizes X (matriz coluna):

Sendo assim, considere o operador linear T: ℝ² → ℝ² dado por T(X) = A . X, onde é chamada de matriz codificadora. Supondo que tenha sido enviada uma mensagem já criptografada com uma palavra contendo quatro letras representadas pela numeração: 4-5-14-15 que significam o mesmo que “DENO”. Ao quebrar o código criptografado, obtemos:

Considere a matriz

Para cada valor de x que faz com que a matriz A possua autovalores repetidos, definimos S(x_i) como a soma dos três autovalores de A quando x=x_i , onde i é um número natural que vai de 1 até k, que é o número máximo de valores distintos de x que proporcionam autovalores repetidos de A. O valor de é

Considere o processo de média móvel de ordem, MA(1) escrito da forma:

X_t = θ₀ + ε_t + θ₁ε_{t − 1} para t = 1,2,3,... e ε_t uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com E(ε_t ) = 0 e var(ε_t ) = σ².

A média e a variância de X_t são, respectivamente:

Considere o seguinte modelo VAR(1) estacionário:

X_1,t = 0,5 + 0,6X_{1,t −1} + 0,1X_{2,t −1} + ε_1,t

X_2,t = 1 + 0,1X_{1,t −1} + 0,6X_2,t−1 + ε_2,t

_{onde E(}ε_{1,t) = E(}ε_{2,t) = 0}

Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes.

Sabendo-se que:

E (X) = 2; E(X² Y) = 8; E(XY² ) = 6 e E ((XY)² ) = 24,

conclui-se que o valor da variância de Y, Var (Y), é

Os modelos abaixo foram propostos e ajustados a 30 observações de quatro variáveis de interesse:

Modelo I: Y_i = β₁ + β₂X_2i + ε_i

Modelo II: Y_i = β_{1 +} β₂X_{2i +} β₃X_{3i +} β₄X_{4i +} ε_i

_{Os seguintes resultados são obtidos:}

_{O valor da estatística F usada para testar se os parâmetros} β_{3 e} β_{4 são ambos nulos é}

Seja um vetor cujas componentes são dadas, em função de t, por

O módulo desse vetor, quando está na posição vertical (sobre o eixo das ordenadas) é

Uma professora do jardim da infância entregou um mesmo desenho para cada um de seus 10 alunos e distribuiu vários lápis de cor entre eles. A tarefa era pintar o desenho, que possuía diversas regiões. Cada uma dessas regiões apresentava a cor com a qual deveria ser pintada. Todos os alunos receberam a mesma quantidade de lápis de cor, mas nenhum aluno recebeu todas as cores necessárias para pintar todo o desenho e, portanto, eles precisavam se agrupar para conseguir completar a tarefa. Formando qualquer grupo de 6 alunos, uma região não poderia ser pintada, mas qualquer grupo de 7 alunos conseguiria completar a tarefa. Todas as regiões deveriam receber cores diferentes, e a professora distribuiu o menor número de lápis de cor para cada aluno.

Quantos lápis de cor cada aluno recebeu?

Numa amostra de 30 pares de observações do tipo (x_i , y_i ), com i = 1, 2, ..., 30, a covariância obtida entre as variáveis X e Y foi -2. Os dados foram transformados linearmente da forma (z_i , w_i ) = (-3x_i + 1 , 2y_i + 3), para i = 1, 2, ..., 30.

Qual o valor da covariância entre as variáveis Z e W transformadas?

Considere a transformação linear T : ℝ⁴ → ℝ⁴ , definida por: T(x,y,z,w) = (x -y, y - z, z - w, w - x).

A dimensão da imagem de T é

Sejam X~N₂ (μ,Σ), com μ=(2 -3)^t e  A distribuição de Y=AX, onde A=(-1 2), é: