Questões de Concurso Sobre álgebra linear - equações lineares, espaço vetorial e transformações lineares e matrizes em matemática

Considere um modelo linear simples , e informe se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se afirma a seguir, assinalando a alternativa com a sequência correta.

Um grupo de 5 pessoas ingressou em um plano de dieta com o objetivo de reduzir peso. Obtenha a equação de regressão estimada que relacione a quantidade de peso perdida, Y em kg, e o número de semanas de cada um dos participantes no plano, X, sabendo que os valores registrados foram:

Um modelo linear foi construído para expressar a relação entre o consumo e a renda de uma família numa determinada cidade. Segundo os cálculos realizados, Nesse caso, para reduzir o consumo em 10 unidades quanto se deve reduzir a renda?

No espaço vetorial R² , B₁ = n{(1,1),(2,1)} e B₂ = {u,v} são bases tais que a matriz é a matriz de mudança da base B₁ para B₂ . O produto interno {u,v} é igual a

Transformações são funções definidas em espaços vetoriais. Transformações que satisfazem determinadas propriedades são chamadas de transformações lineares. Qual das transformações a seguir NÃO é uma transformação linear?

Pode-se escrever o vetor u = (9, - 17) como uma combinação linear de v = (1, 2) e w = (3, -1) , ou seja, existem a e b, tais que u = av + bw. A soma a + b vale

O menor autovalor da matriz é

Seja T:R³ → R³ a transformação linear definida por T(x,y,z)=(x+2y+3z, -x+2y-z,3x+2y+z). Pode-se afirmar, sobre T, que

Pode-se afirmar, sobre os vetores v₁=(1,2,3,-1), v₂=(-1,2,-3,-1), v₃=(3,2,1,0) e v₄=(16,8,24,-1) do R⁴ , que

Se V₁ e V₂ são subespaços vetoriais de R³ , com V₁={(x,y,z): 2x-3y+z=0} e V₂={(x,y,z):x+4y+3z=0}, pode-se afirmar que se o vetor (a,b,c) ∈ V₁ ∩ V₂, então

Os vetores (1,2,5), (3,2,1) e (9,2,-11) no espaço vetorial R³ geram um subespaço vetorial ao qual pertence o vetor

Considere o processo de média móvel de ordem, MA(1) escrito da forma:

X_t = θ₀ + ε_t + θ₁ε_{t − 1} para t = 1,2,3,... e ε_t uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com E(ε_t ) = 0 e var(ε_t ) = σ².

A média e a variância de X_t são, respectivamente:

Seja a variável X = (X₁,X₂,X₃) uma distribuição normal com média μ = (0,0,0) e matriz de covariância


O coeficiente de correlação entre X₁ e (X₂,X₃) é dado por

Seja um vetor cujas componentes são dadas, em função de t, por

O módulo desse vetor, quando está na posição vertical (sobre o eixo das ordenadas) é

Uma professora do jardim da infância entregou um mesmo desenho para cada um de seus 10 alunos e distribuiu vários lápis de cor entre eles. A tarefa era pintar o desenho, que possuía diversas regiões. Cada uma dessas regiões apresentava a cor com a qual deveria ser pintada. Todos os alunos receberam a mesma quantidade de lápis de cor, mas nenhum aluno recebeu todas as cores necessárias para pintar todo o desenho e, portanto, eles precisavam se agrupar para conseguir completar a tarefa. Formando qualquer grupo de 6 alunos, uma região não poderia ser pintada, mas qualquer grupo de 7 alunos conseguiria completar a tarefa. Todas as regiões deveriam receber cores diferentes, e a professora distribuiu o menor número de lápis de cor para cada aluno.

Quantos lápis de cor cada aluno recebeu?

Numa amostra de 30 pares de observações do tipo (x_i , y_i ), com i = 1, 2, ..., 30, a covariância obtida entre as variáveis X e Y foi -2. Os dados foram transformados linearmente da forma (z_i , w_i ) = (-3x_i + 1 , 2y_i + 3), para i = 1, 2, ..., 30.

Qual o valor da covariância entre as variáveis Z e W transformadas?

Considere a transformação linear T : ℝ⁴ → ℝ⁴ , definida por: T(x,y,z,w) = (x -y, y - z, z - w, w - x).

A dimensão da imagem de T é

Sejam X~N₂ (μ,Σ), com μ=(2 -3)^t e  A distribuição de Y=AX, onde A=(-1 2), é: 

Uma pesquisa de mercado, para uma amostra de 250 consumidores, foi realizada para avaliar a aceitação pelo consumidor de um novo AZEITE. Cada consumidor foi convidado a dar uma nota de 1 a 5 aos atributos do produto considerados importantes nessa avaliação, como: (1) sabor, (2) aroma, (3) cor, (4) textura, (5) utilidade, (6) facilidade de locais de compra e (7) embalagem.

Na Tabela, têm-se os autovalores da matriz de correlações amostrais.

Tabela: Autovalores da matriz de correlação amostral

Numa análise fatorial, a decisão do número de fatores pode ser pelo percentual de variação explicada obtido a partir dos autovalores.

Para se obter, neste caso, um percentual de variação explicada acima de 90%, qual a quantidade mínima de fatores?

Considere a função f : ℝ³ → ℝ definida por

f(x,y,z) = x + y + z

e o conjunto U ⊂ ℝ³ dado por

U = {(x,y,z) | x² + y² = 2 e x + z = 1}.

Sejam M e m os valores máximo e mínimo assumidos pela função f em U, respectivamente.

O produto M.m é