Questões Militares Sobre geometria plana em matemática

Na arquitetura são usadas aplicações matemáticas na construção de arcos de parábolas em igrejas, pontes e museus. Um portal de um museu tem a forma de um arco de parábola, conforme figura abaixo. A medida da sua base AB é de 6m e da sua altura máxima é 5m. Uma faixa CD paralela à base foi colocada 3m acima da base AB. Dessa forma, podemos afirmar que o comprimento da faixa CD é igual a:

Para pintar os dois lados de um muro de formato retangular, desprezando sua espessura, foram necessárias exatamente 3 latas de tinta, que cobrem, cada uma, 24 m² de área. Sabendo-se que a altura do muro corresponde a 1/9 de seu comprimento, então a razão entre a medida do comprimento do muro e o seu perímetro vale:

Em um tetraedro ABCD, os ângulos ABC e ACB são idênticos e a aresta AD é ortogonal à BC. A área do ΔABC é igual à área do ΔACD, e o ângulo MAD é igual ao ângulo MDA, onde M é ponto médio de BC. Calcule a área total do tetraedro ABCD, em cm² , sabendo que BC = 2cm, e que o ângulo BAC é igual a 30^o .

Em um setor circular de 45º, limitado pelos raios OA e OB iguais a R, inscreve-se um quadrado MNPQ, onde MN está apoiado em OA e o ponto Q sobre o raio OB. Então, o perímetro do quadrado é:

Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.

Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio R. São sorteados 3 vértices distintos do hexágono, a saber: A, B e C. Seja r o raio do círculo inscrito ao triângulo ABC. Qual a probabilidade de que r = R/2 ?

Sejam x₁, x₂ e x₃ raízes da equação x₃ − ax − 16 = 0. Sendo a um número real, o valor de x₁³ + x₂³ + x₃³ é igual a:

É tradição, na formatura do 3^o Ano do Ensino Médio do CMSM, os alunos concludentes formarem uma estrela de cinco pontas antes da sua saída simbólica pelo portão principal do Colégio. Isso exige alguns dias de preparação. Para o treinamento da referida formatura os organizadores desenham um pentagrama regular no solo, a fim facilitar os primeiros ensaios do evento.

Considere que cada lado do pentágono do centro do pentagrama desenhado acima tem 3,09 metros de comprimento e os segmentos de reta AB = ED = CE = CB = AD = 13,09 m.

Determine, então, o perímetro da estrela formada pelos alunos.

O Patriotismo é um dos principais valores cultuados no CMSM. Os alunos aprendem a ter amor pelo Brasil desde muito jovens. Para comemorar a Semana da Pátria no corrente ano, três alunas escreveram a palavra BRASIL em azulejos quadrados. Com base no desenho abaixo marque a única assertiva correta.

O Colégio Militar de Santa Maria (CMSM) possui uma biblioteca com grande acervo que contempla as mais diversas áreas de pesquisa. No ano de 2017, após sofrer uma renovação de suas estruturas, foi criado um hall de entrada, onde estão estampados os principais fatos históricos ocorridos desde a criação deste estabelecimento de ensino. Na execução desta reforma, o chão foi revestido com peças de porcelanato quadradas sendo que cada uma delas tem 43 cm de lado.

O Hall de Entrada da Biblioteca mede 3,87 m de largura por 8,17 m de comprimento. Determine quantas peças de porcelanato foram necessárias para revestir o piso da área do Hall de Entrada da Biblioteca.

Obs: Para a execução destes cálculos desconsidere a área do rejunte, ou seja, aquele material que é colocado entre as peças de porcelanato

A solenidade de inauguração dos trabalhos de construção das novas instalações do Colégio Militar de Santa Maria foi realizada no Parque Regional de Manutenção da 3^a Região Militar. O primeiro diretor do Colégio, Coronel Frederico Guido Bieri, destacou que o CMSM iria beneficiar até 900 alunos. Considerando que a primeira parte do Colégio tinha uma área de 12.400 m e o custo total da obra foi de 5 milhões de reais, pode-se afirmar que o valor do metro quadrado da obra foi de aproximadamente:

Neste pavilhão da foto abaixo foram disponibilizadas inicialmente 4 salas de aulas de bases retangulares: 2 para o 6o ano e 2 para o T ano. Cada sala possuía as seguintes dimensões: 7,2 m de comprimento e 3,36 m de largura, sendo que se deve considerar, ainda, que cada sala, possuía uma única porta, que tinha 95 cm de largura. Com base nessas informações, determine quantos metros de rodapé foram colocados em cada uma das salas disponibilizadas.

Considere que rodapé é uma barra, geralmente de madeira, que se coloca ao longo de toda a extensão das paredes, na junção com o piso, para lhes dar acabamento e proteção.

No seu primeiro ano letivo, o CMSM ocupou temporariamente uma área delimitada dentro do Parque Regional de Manutenção da 3a Região Militar. Para separar a área provisória do CMSM da área do quartel que já se encontrava lá anteriormente, construiu-se uma cerca com moirões de concreto. Foi decidido que a cerca deveria ter 1,80 metros de altura. Logo, os moirões deveríam ficar nessa mesma altura acima do solo. Todavia, para que os mesmos ficassem firmes, foi necessário ainda que 45 cm de cada moirão na posição vertical ficasse enterrado.
Considere que, para cercar o colégio, foram usados 32 moirões que atendiam exatamente as necessidades apresentadas, mais dois moirões de 2,30 metros para serem postos de forma inclinada como escora nos portões.
Se cada metro de comprimento desses moirões custou, na época, R$ 0,80 (oitenta centavos), determine quanto se gastou na compra dos moirões de concreto.

A o ministrar revisão de Geom etria para 2a fase da OBM EP em 2018, o professor de M atem ática, explorando a figura 13 abaixo, apresentou os dados a seguir:

A segunda fase da OBMEP em 2019 será realizada na Universidade Federal de Santa Maria no dia 28 de setembro do corrente ano. Um problema instigante e desafiador de geometria foi apresentado aos alunos do CMSM durante a preparação, segundo a figura 11 a seguir

Sabe-se que:

a. Dadas duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos são iguais, ou seja, se r // s então a = B

Uma turista brasileira, ao visitar Paris, capital da França, observa o topo da Tone Eiffel, sob um ângulo de 45°.

Conforme croqui abaixo (figura 6), sabe-se que:

a. a turista brasileira encontra-se inicialmente localizada no ponto A;

b. o topo da Tone está materializado pelo ponto C;

c. a referida turista ao deslocar-se em linha reta, 100 metros à frente, do ponto A para o ponto B, observa o mesmo topo da Torre, ponto C, sob um ângulo de 60°.

De posse das informações acima, calcule a distância da turista, quando localizada no ponto A, da base da Torre Eiffel no ponto D.

Uma jarra de fundo quadrado, medindo 8 cm de lado e 30 cm de altura estava inicialmente cheia de água até sua borda superior, mas foram descartadas 5 canecas com 64 ml de água cada, fazendo com que a jarra diminuísse seu nível de água, conforme mostra a figura acima. A distância d, em cm, entre o nível da água que restou na jarra e a borda superior é:

Os pontos B = (1,1 + 6√2) e C = (1 + 6√2 ,1) são vértices do triângulo isosceles ABC de base BC, contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são

Duas curvas planas c₁ e c₂ são definidas pelas equações

c₁: 16x² + 9y² - 224x - 72y + 640 = 0,

c₂: x² + y² + 4x - 10y + 13 = 0.

Sejam P e Q os pontos de interseção de c₁ com o eixo x e R e S os pontos de interseção de c₂ com o eixo y. A área do quadrilátero convexo de vértices P, Q, R e S é igual a

No hexágono ABCDEF, G, H, I e J são, respectivamente, os pontos médios de AF , BC , EF , CD. Se AB // FC // DE , então GH + IJ é igual a